Cho hàm số \(y = \dfrac{{{2^{x + 1}} + 1}}{{{2^x}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \({2^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right)\).

+) Tìm tập xác định của hàm số \(R\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\).

+) Hàm số có dạng \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên \(\left( {a;b} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\,\,\left( {hoac\,\,y' < 0} \right)\\{x_0} \notin \left( {a;b} \right)\end{array} \right.\).

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \({2^x} \ne m\)

Ta có: \(y = \dfrac{{{2^{x + 1}} + 1}}{{{2^x} - m}} = \dfrac{{{{2.2}^x} + 1}}{{{2^x} - m}}\)

Đặt \(t = {2^x} > 0\) ta có: \(y\left( t \right) = \dfrac{{2t + 1}}{{t - m}}\,\,\left( {t \ne m} \right) \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2m - 1}}{{{{\left( {t - m} \right)}^2}}}\).

Ta có : \(x \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow {2^x} \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right) \Rightarrow t \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\) , khi đó bài toán ban đầu trở thành tìm m để hàm số \(y\left( t \right) = \dfrac{{2t + 1}}{{t - m}}\,\,\left( {t \ne m} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m - 1 < 0\\m \notin \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - \dfrac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{2} < m \le \dfrac{1}{2}\\m \ge 2\end{array} \right.\)

Chọn: A