Cho tứ diện ABCD, có \(AB = CD = 8,\,AC =...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều là trung điểm của đường thẳng nối trung điểm của 2 cạnh đối của tứ diện.

+) Sử dụng công thức tính độ dài trung tuyến \(m_a^2 = \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\).

+) Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là \(S = 4\pi {R^2}\).

Giải chi tiết:

+) Xác định tâm mặt cầu \(\left( S \right)\):

Gọi E, M theo thứ tự là trung điểm của đoạn AB, CD. Điểm O là trung điểm của EM.

Ta có: \(\Delta ABD = \Delta BAC\left( {c.c.c} \right)\), \(DE,CE\) là 2 đường trung tuyến tương ứng của 2 tam giác \( \Rightarrow DE = CE\)\( \Rightarrow \Delta DEC\) cân tại \(E\)

Mà \(EM\) là trung tuyến \( \Rightarrow EM\) là trung trực của đoạn CD \( \Rightarrow OD = OC\)

Tương tự, chứng minh được: \(EM\) là trung trực của đoạn AB \( \Rightarrow OA = OB\)

Lại có,  \(\Delta AEO = \Delta CMO\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow OA = OC\)

\( \Rightarrow OA = OB = OC = OD \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

+) Tính diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\):

\(DE\) là trung tuyến của \(\Delta ABD \Rightarrow D{E^2} = \dfrac{{2\left( {D{B^2} + D{A^2}} \right) - A{B^2}}}{4} = \dfrac{{2\left( {{{10}^2} + {{12}^2}} \right) - {8^2}}}{4} = 106\)

\(\Delta EMD\) vuông tại M \( \Rightarrow EM = \sqrt {D{E^2} - D{M^2}}  = \sqrt {106 - {4^2}}  = 3\sqrt {10}  \Rightarrow OM = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{2}\)

\(\Delta OMD\) vuông tại M \( \Rightarrow OD = \sqrt {O{M^2} + D{M^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3\sqrt {10} }}{2}} \right)}^2} + {4^2}}  = \dfrac{{\sqrt {154} }}{2} \Rightarrow R = \dfrac{{\sqrt {154} }}{2}\)

Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) ngoại tiếp tứ diện ABCD là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{\sqrt {154} }}{2}} \right)^2} = 154\pi \).