Đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1\)...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba y = f(x) (quỹ tích điểm cực trị) là y = g(x) với g(x) là đa thức dư của phép chia f(x) cho f’(x)

Cách 2: Khảo sát hàm số, xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. Sau đó  lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vừa tìm được.

Thử các đáp án xem điểm nào thuộc đường thẳng vừa tìm được thì chọn điểm đó.

Giải chi tiết:

Cách 1: Có y’ = 3x² – 6x – 9

\({x^3} - 3{x^2} - 9x + 1 = \left( {\dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{3}} \right)\left( {3{x^2} - 6x - 9} \right) - 8x - 2\) nên đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình y = –8x – 2

Đường thẳng này đi qua điểm N(1;–10)

Cách 2: Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow y\left( 3 \right) =  - 26 \Rightarrow A\left( {3; - 26} \right)\\x =  - 1 \Rightarrow y\left( { - 1} \right) = 6 \Rightarrow B\left( { - 1;6} \right)\end{array} \right.\)            

Khi đó đường thẳng đi qua 2 điểm A và B có phương trình:

\(\dfrac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \dfrac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{ - 1 - 3}} = \dfrac{{y + 26}}{{6 + 26}} \Leftrightarrow y =  - 8x - 2\)

Thử các đáp án ta thấy điểm N thuộc đường thẳng AB.

Chọn C.