Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hì...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Đặt b, a, h lần lượt là bán kính đáy cốc, bán kính miệng cốc và chiều cao của cốc, \(\alpha \) là góc kí hiệu như hình vẽ.

Ta trải hai lần mặt xung quanh của cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt như hình vẽ với cung nhỏ BB’ và cung lớn AA’ có độ dài lần lượt là:

\({l_{BB'}} = 2.2\pi b = 4\pi b = 2\alpha .OB \Rightarrow OB = \frac{{2\pi b}}{\alpha }\) ; \({l_{AA'}} = 2.2\pi a = 2\alpha .OA \Rightarrow OA = \frac{{2\pi a}}{\alpha }\)

(BB’ vừa là cung tròn của đường tròn tâm D’ bán kính b, vừa là cung tròn của đường tròn tâm O bán kính OB, AA’ vừa là cung tròn của đường tròn tâm C bán kính a, vừa là cung tròn của đường tròn tâm O bán kính OA)

(\(B \equiv B';A \equiv A'\) ).

Khi đó độ dài ngắn nhất của đường đi con kiến là độ dài đoạn thẳng \(l = AB'\)

Áp dụng định lý cosin trong tam giác OAB’:\(l = AB' = \sqrt {O{A^2} + OB{'^2} - 2.OA.OB'.cos2\alpha } \,\,\,\,\,\,(1)\);

Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( {AC - BD'} \right)}^2} + CD{'^2}}  = \sqrt {{{(a - b)}^2} + {h^2}} \)

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{b} = \dfrac{{4\pi a}}{{4\pi b}} = \dfrac{{{l_{BB'}}}}{{{l_{AA'}}}} = \dfrac{{OA}}{{OB}} = \dfrac{{OB + BA}}{{OB}} = 1 + \dfrac{{AB}}{{OB}} = 1 + \dfrac{{AB}}{{\dfrac{{2\pi b}}{\alpha }}} = 1 + \dfrac{{AB\alpha }}{{2\pi b}}\\ \Rightarrow \alpha  = \left( {\dfrac{a}{b} - 1} \right).\dfrac{{2\pi b}}{{AB}} = \dfrac{{2(a - b)\pi }}{{AB}} = \dfrac{{2(a - b)\pi }}{{\sqrt {{{(a - b)}^2} + {h^2}} }}\\a = 5,b = 4,h = 20 \Rightarrow \alpha  = \dfrac{{2\pi }}{{\sqrt {401} }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\\dfrac{{AB}}{{OB}} = \dfrac{a}{b} - 1 \Rightarrow OB = OB' = \dfrac{{AB}}{{\dfrac{a}{b} - 1}} = \dfrac{{b.AB}}{{a - b}} = \dfrac{{b.\sqrt {{{(a - b)}^2} + {h^2}} }}{{a - b}} = 4\sqrt {401} \,\,\,\,\,\,(3)\\OA = OB + BA = \dfrac{{b.\sqrt {{{(a - b)}^2} + {h^2}} }}{{a - b}} + \sqrt {{{(a - b)}^2} + {h^2}}  = 4\sqrt {401}  + \sqrt {401}  = 5\sqrt {401} \end{array}\)

Thế vào biểu thức (1) ta được:  \(l \approx 58,80\,\,(cm)\)

Chọn B.