Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow OB\)là hình chiếu vuông góc của SB trên (ABCD)\( \Rightarrow \widehat {\left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;OB} \right)} = \widehat {SBO} = {60^0}\)

Gọi E là trung điểm của SB.  Trong (SBD) kẻ \(IE \bot SB\,\,\left( {I \in SO} \right)\)\( \Rightarrow IE\)là trung trực của SB \( \Rightarrow {\rm{IS = IB}}\)

\(I \in SO \Rightarrow IA = IB = IC = ID \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS\)\( \Rightarrow \) I là tâm khối cầu ngoại tiếp chóp S. ABCD

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên \(BD = a\sqrt 2  \Rightarrow OB = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OB \Rightarrow \Delta SOB\) vuông tại O\( \Rightarrow SO = OB. \tan 60 = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}. \sqrt 3  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

\(SB = \dfrac{{OB}}{{{\rm{cos60}}}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{1}{2}}} = a\sqrt 2 \)

 Ta có:

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là\(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)^3} = \dfrac{{8\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}\)

Chọn D.