Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Để hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\infty  \right)\Leftrightarrow y' \geq 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty  \right)\), cô lập m, đưa bất đẳng thức về dạng

Giải chi tiết:

\(y={{x}^{3}}+mx-\frac{1}{5{{x}^{5}}}\)

Ta có:

\(\begin{align}  & y'=3{{x}^{2}}+m-\frac{1}{5}.\left( -5{{x}^{-6}} \right)=3{{x}^{2}}+m+\frac{1}{{{x}^{6}}}\geq 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty  \right)\Leftrightarrow -m \leq3 {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}=f\left( x \right)\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty  \right) \\  & \Rightarrow -m\leq \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) \\  & f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}={{x}^{2}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}\ge 4\sqrt[4]{1}=4\Rightarrow \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=4 \\  & \Leftrightarrow -m\leq 4\Leftrightarrow m \geq -4 \\ \end{align}\)

Mà m là số nguyên âm \(\Rightarrow m\in \left\{-4; -3;-2;-1 \right\}.\)

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.