Biết \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{{{x}^...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tách hàm phân thức và đổi biến số đưa về tích phân cơ bản

Giải chi tiết:

Ta có \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{1+{{x}^{4}}}{1+{{x}^{6}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1-{{x}^{2}}+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1-{{x}^{2}}+{{x}^{4}} \right)}\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{1+{{x}^{2}}}}+\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{6}}}\,\text{d}x}=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}\left( {{x}^{3}} \right)}{1+{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}}}.\)

\(=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}t}{1+{{t}^{2}}}}=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{3}.\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}.\) Mà \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{1+{{x}^{4}}}{1+{{x}^{6}}}\,\text{d}x}=\frac{a}{b}\pi =\frac{1}{3}\pi \Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=1 \\& b=3 \\\end{align} \right..\) Vậy \(a+b=4.\)

Chọn B