Biết rằng bất phương trình \(m\l...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình ẩn t, cô lập tham số m để biện luận nghiệm phương trình

Giải chi tiết:

Điều kiện \(-1\le x\le 1\). Xét hàm số \(g\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\) trên đoạn \(\left[ -1;\,1 \right]\).

Ta có : \({g}'\left( x \right)=x\left( \frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}}}-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \right)\), \({g}'\left( x \right)=0\) \(\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\)\(\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Tính \(g\left( \pm 1 \right)=1\), \(g\left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right)=\sqrt{2}\).Suy ra \(1\le g\left( x \right)\le \sqrt{2}\).

Đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Rightarrow {{t}^{2}}=1+2\sqrt{{{x}^{2}}-{{x}^{4}}}\), \(1\le t\le \sqrt{2}\). Bất phương trình trở thành :

\(m\left( t+1 \right)\le {{t}^{2}}+t+1\) \(\Leftrightarrow m\le t+\frac{1}{t+1}\) (Do \(1\le t\le \sqrt{2}\) nên \(t+1>0\)).

Xét hàm số \(f\left( t \right)=t+\frac{1}{t+1}\) trên đoạn \(\left[ 1;\,\sqrt{2} \right]\). Có \({f}'\left( t \right)=1-\frac{1}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}\), \({f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=0\notin \left[ 1;\,\sqrt{2} \right] \\  & t=-2\notin \left[ 1;\,\sqrt{2} \right] \\ \end{align} \right.\).

Tính \(f\left( 1 \right)=\frac{3}{2}\), \(f\left( \sqrt{2} \right)=2\sqrt{2}-1\). Do đó, \(\underset{\left[ 1;\,\sqrt{2} \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( \sqrt{2} \right)=2\sqrt{2}-1\).

Suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm khi \(m\le \underset{\left[ 1;\,\sqrt{2} \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)\) hay \(m\le 2\sqrt{2}-1\).

Do đó \(a=2\), \(b=-1\). Vậy \(T=1\).

Chọn D