a) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu thỏa m...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lý sin biến đổi đề bài thành phương trinhg tích để suy ra \(\cos A = 0\)

b) Viết phương trình đường trung trực của AB.

Tìm tọa độ điểm  I  là giao điểm của tiếp tuyến của đường tròn tại A và B đồng thời là giao điểm của đường trung trực AB và đường thẳng \(\left( d \right)\).

Tìm tọa độ tâm O của \(\left( C \right)\) bằng cách viết OA và O là giao của OA và đường trung trực của AB.

Từ đó viết phương trình đường tròn \(\left( C \right).\)

Giải chi tiết:

a) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu thỏa mãn: \(\cos \left( {B - C} \right) = \frac{{2bc}}{{{a^2}}}\)

Áp dụng định lý hàm số sin ta có: \(a = 2R.\sin A\,\,;\,\,b = 2R.\sin B\,\,;\,\,c = 2R.\sin C\)

Trong tam giác, tổng số đo 3 góc bằng \({180^0} \Rightarrow \angle A + \angle B + \angle C = {180^0}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \left( {B - C} \right) = \frac{{2bc}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right) = \frac{{2.2R.\sin B.2R.\sin C}}{{4{R^2}.{{\sin }^2}A}}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right) = \frac{{2\sin B.\sin C}}{{{{\sin }^2}A}} \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right).{\sin ^2}A = \cos \left( {B - C} \right) - \cos \left( {B + C} \right)\\ \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right)\left( {1 - {{\sin }^2}A} \right) - \cos \left( {{{180}^o} - A} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right).{\cos ^2}A + \cos A = 0\\ \Leftrightarrow \cos A\left[ {\cos \left( {B - C} \right)\cos A + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \cos A\left[ { - \cos \left( {B - C} \right)\cos \left( {B + C} \right) + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \cos A.\left[ {1 - \frac{1}{2}\left( {\cos 2B + \cos 2C} \right)} \right] = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

 Vì A, B, C là các góc trong tam giác \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ne 0\\C \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2B \ne 0\\2C \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 2B \ne 1\\\cos 2C \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow 1 - \frac{1}{2}\left( {\cos 2B + \cos 2C} \right) \ne 0\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \cos A = 0 \Leftrightarrow \angle A = \frac{\pi }{2}\,\,\,\left( {do\,\,\angle A > 0} \right)\) 

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

b)

Gọi M là trung điểm của đoạn AB \( \Rightarrow M\left( {4; - 1} \right)\)

Gọi O là tâm đường tròn \(\left( C \right)\) \( \Rightarrow OM\) là đường trung trực của đoạn \(AB\,\,\,\left( {OA = OB,MA = MB} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {0;4} \right)\) là 1 VTPT của OM

\( \Rightarrow \) Phương trình OM : \(4\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4y + 4 = 0\)

Gọi I  là giao điểm của tiếp tuyến của đường tròn tại A và B

\( \Rightarrow IA = IB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow I \in OM\) mà \(I \in \left( d \right)\) (gt)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}4y + 4 = 0\\x + 6y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x = 6\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {6; - 1} \right)\)

Vì IA là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại A

\( \Rightarrow IA \bot OA \Rightarrow \overrightarrow {IA}  = \left( { - 2; - 2} \right)\) là 1 VTPT của OA

\( \Rightarrow \) Phương trình OA :

 \( - 2\left( {x - 4} \right) - 2\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 1 = 0\)

Ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}O \in OM\\O \in OA\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4y + 4 = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow O\left( {2; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow {R^2} = O{A^2} = {\left( {4 - 2} \right)^2} + {\left( { - 3 + 1} \right)^2} = 8\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\)