Cho phương trình \(A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Phân tích mẫu thức thành nhân tử sau đó quy đồng mẫu các phân thức  rồi biến đổi để rút gọn biểu thức.

b) Sử dụng bất đẳng thức Co-si để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức A.

\(A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}\) (với \(x > 0,x \ne 1\) )

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}}\\ = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}\end{array}\)

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = A - 9\sqrt x \)

\(\begin{array}{l}P = A - 9\sqrt x \\ = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x \\ = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)\end{array}\)

Với \(x > 0,x \ne 1\), áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương \(\frac{1}{{\sqrt x }};9\sqrt x \) ta có: \(\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x  \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x }  = 6\)

Từ đó ta có: \(1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 =  - 5\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là -5. Dấu “= xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x  \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\)