Cho phương trình \({x^2} - x + m + 1 = 0\)  (m...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay \(m =  - 3\) vào phương trình và giải phương trình bậc hai một ẩn.

b) Phương trình có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0.\)

+)  Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\) và hệ thức bài cho để tìm \(m.\)

Giải chi tiết:

Cho phương trình \({x^2} - x + m + 1 = 0\)  (m là tham số).

a) Giải phương trình với \(m =  - 3.\)

Với \(m =  - 3\) ta có phương trình: \({x^2} - x - 2 = 0\)

Ta có: \(a = 1;\;b =  - 1;\;c =  - 2 \Rightarrow a - b + c = 1 + 1 - 2 = 0.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} =  - 1;\;\;{x_2} =  - \frac{c}{a} = 2.\)

Vậy với \(m =  - 3\) phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 1;\;2} \right\}.\)

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) thỏa mãn điều kiện: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2.\)

Phương trình có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow 1 - 4\left( {m + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow m \le  - \frac{3}{4}.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = m + 1\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = 4\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4\\ \Leftrightarrow 1 - 4\left( {m + 1} \right) = 4\\ \Leftrightarrow 1 - 4m - 4 = 4\\ \Leftrightarrow m =  - \frac{7}{4}\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(m =  - \frac{7}{4}\) thỏa mãn bài toán.

Chọn C.