Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC nội...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.

Ta có \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\left( do\,\,CF\bot AB \right)\Rightarrow A,\ F,\ H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH.\)    (1)

\(\Delta AEH\) vuông tại \(E\left( do\,\,BE\bot AC \right)\Rightarrow A,\ E,\ H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH.\)    (2)

Từ (1) và (2) ta có 4 điểm \(A,\ E,\ F,\ H\) cùng thuộc đường tròn tâm là trung điểm của \(AH\) và bán kính \(R=\frac{AH}{2}.\)

Hay tứ giác \(AEHF\) nội tiếp đường tròn tâm là trung điểm của \(AH\) và bán kính \(R=\frac{AH}{2}.\)

b) Gọi M là giao điểm của EF và BC, đường thẳng MA cắt (O) tại điểm thứ hai là I khác A. Chứng minh tứ giác AEFI nội tiếp được một đường tròn.

Xét tứ giác \(BCEF\) ta có: \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\) là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn đoạn \(BC\)

\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

\( \Rightarrow \angle MFB = \angle ECM\) (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét \(\Delta MBF\) và \(\Delta MEC\) ta có:

\(\begin{array}{l} & \angle FBM = \angle ECM\,\,\left( {cmt} \right)\\ & \angle M\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta MBF \sim \Delta MEC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{MB}}{{ME}} = \frac{{MF}}{{MC}} \Leftrightarrow MB.MC = ME.MF\end{array}\)

Lại có \(AIBC\) là tứ giác nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\)

\( \Rightarrow \angle MIB = \angle ACB\) (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét \(\Delta MBI\) và \(\Delta MAC\) ta có:

\(\begin{array}{l} & \angle MIB = \angle MCA\,\,\left( {cmt} \right)\\ & \angle M\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta MBI \sim \Delta MAC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{MI}}{{MC}} \Leftrightarrow MB.MC = MI.MA\\ \Rightarrow MI.MA = ME.MF\left( { = MB.MC} \right).\\ \Rightarrow \frac{{MI}}{{ME}} = \frac{{MF}}{{MA}}\end{array}\)

Xét \(\Delta MIF\) và \(\Delta MEA\) ta có:

\(\begin{array}{l} & \angle M\,\,\,chung\\ & \frac{{MI}}{{ME}} = \frac{{MF}}{{MA}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MIF \sim \Delta MEA\,\,\left( {c - g - c} \right)\,\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle MIF = \angle MEA\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow AIFE\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).