1. Cho đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = ax +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Hai đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = ax + b;\,\,\left( {d'} \right):\,\,y = a'x + b'\)  song song với nhau khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\) .

Đường thẳng (d’) đi qua điểm A(1;-1) tức là tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình đường thẳng.

2. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)  với mọi m: Ta xét biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)  sau đó chứng minh cho \(\Delta  > 0,\forall m\) .

Kết hợp hệ thức Viet với đầu bài để tìm được m.

Hệ thức Viet: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

1. Cho đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = ax + b\) . Tìm \(a,b\) để đường thẳng (d) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):\,\,y = 2x + 3\) và đi qua điểm \(A\left( {1; - 1} \right)\)

Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’) khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b \ne 3\end{array} \right.\)

Khi đó (d) trở thành: \(y = 2x + b\left( {b \ne 3} \right)\)

Đường thẳng (d’) đi qua điểm \(A\left( {1; - 1} \right)\) nên ta có:

\( - 1 = 2.1 + b \Leftrightarrow b =  - 3\left( {tm} \right)\)

Vậy đường thẳng (d) cần tìm là: \(y = 2x - 3\)

2. Cho phương trình \({x^2} - \left( {m - 2} \right)x - 3 = 0\) (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)  với mọi m. Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức:

\(\sqrt {x_1^2 + 2018}  - {x_1} = \sqrt {x_2^2 + 2018}  + {x_2}\)

Xét biệt thức \(\Delta  = {\left( {m - 2} \right)^2} + 12 \ge 12 > 0,\forall m\)

Vậy phương trình \({x^2} - \left( {m - 2} \right)x - 3 = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) với mọi m. Giả sử \({x_1} > {x_2}\)

Theo hệ thức Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\\{x_1}{x_2} =  - 3\end{array} \right.\)

Theo đề ra ta có:

 \(\begin{array}{l}\sqrt {x_1^2 + 2018}  - {x_1} = \sqrt {x_2^2 + 2018}  + {x_2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {x_1^2 + 2018}  - \sqrt {x_2^2 + 2018}  = {x_1} + {x_2}\\ \Leftrightarrow x_1^2 + 2018 + x_2^2 + 2018 - 2\sqrt {\left( {x_1^2 + 2018} \right).\left( {x_2^2 + 2018} \right)}  = x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2}\,\,\left( {Do\,\,{x_1} - {x_2} > 0} \right)\\ \Leftrightarrow 4036 - 2\sqrt {\left( {x_1^2 + 2018} \right).\left( {x_2^2 + 2018} \right)}  = 2{x_1}{x_2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x_1^2 + 2018} \right).\left( {x_2^2 + 2018} \right)}  = 2018 - {x_1}{x_2}\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 + 2018} \right).\left( {x_2^2 + 2018} \right) = {2018^2} - 4036{x_1}{x_2} + x_1^2x_2^2\\ \Leftrightarrow x_1^2x_2^2 + 2018\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + {2018^2} = {2018^2} - 4036{x_1}{x_2} + x_1^2x_2^2\\ \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] =  - 2{x_1}{x_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow m = 2\end{array}\)

Vậy m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.