Cho tam giác ABC (AB < AC) nhọn nội tiếp (O), A...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)     CMR: \(M{{D}^{2}}=MB.MC\).

Áp dụng định lý: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung = góc nội tiếp cùng chắn một cung ta có: \(\angle MDC=\angle MBD.\)

Xét \(\Delta MDB\) và \(\Delta MCD\) ta có:

\(\begin{align}  & \angle DMB\ \ chung \\  & \angle MDC=\angle MBD\ \ \left( cmt \right) \\  & \Rightarrow \Delta MDB\backsim \Delta MCD\ \ \left( g-g \right) \\  & \Rightarrow \frac{MD}{MB}=\frac{MC}{MD}\Rightarrow MB.MC=M{{D}^{2}}\ \ \ \left( dpcm \right). \\ \end{align}\)

b)     Qua B kẻ đường thẳng song song với MO cắt AD tại P. CMR: B, H, D, P cùng thuộc một đường tròn.

Ta có: HB = HC (gt) nên OH vuông BE (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung), lại có MD vuông OD (tính chất tiếp tuyến) nên: \(\angle OHM=\angle ODM={{90}^{0}}.\)

Do đó H, D nằm trên đường tròn đường kính OM.

Hay tứ giác \(OHDM\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OM.\)

\(\Rightarrow \angle HDO=\angle HMO\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OH\().

Lại có: \(BP//OM\Rightarrow \angle HOB=\angle OMH\) (hai góc so le trong).

\(\Rightarrow \angle HBP=\angle HDP\ \left( =\angle OMH \right).\)

\(\Rightarrow HPDB\) là tứ giác nội tiếp hay \(H,\ P,\ B,\ D\) cùng thuộc một đường tròn.

c)     CMR: O là trung điểm EF.

Ta có : Tứ giác BHDP nội tiếp (cmt) nên : \(\angle BHD=\angle BPD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)

Vì : EF // BP nên : \(\angle BPD=\angle EOD;\ \ \angle AOF=\angle EOD\Rightarrow \angle BPD=\angle FOA.\)

Lại có : \(\angle BDH=\angle OAF\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD\()

\(\begin{align}  & \Rightarrow OAF\backsim \Delta HBD\ \ \left( g-g \right). \\  & \Rightarrow \frac{OA}{HB}=\frac{OF}{HD}\ \ \ \left( 1 \right). \\ \end{align}\)

Mà \(\angle CHD={{180}^{0}}-\angle BHD={{180}^{0}}-\angle AOF=\angle AOE\) và \(\angle EOA=\angle HCD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\()

\(\begin{align}  & \Rightarrow \Delta OAE\backsim \Delta HCD\ \left( g-g \right). \\  & \Rightarrow \frac{OA}{HC}=\frac{EO}{DH}\ \ \left( 2 \right) \\ \end{align}\)

Mặt khác có : \(HB=HC\ \ \left( gt \right)\ \ \ \left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) ta có : \(\frac{OF}{DH}=\frac{OE}{DH}\Rightarrow OE=OF\Rightarrow O\) là trung điểm của \(EF.\)   (đpcm)