1. Một hình chữ nhật có diện tích...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

2. Gọi chiều dài ban đầu và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật lần lượt là\(x,y\left( m \right),x>y>0\) từ các dữ kiện đề bài cho đưa về hệ phương trình, giải và kết luận.

Giải chi tiết:

1. Một hình chữ nhật có diện tích bằng \(360{{m}^{2}}\)  Nếu tăng chiều rộng lên \(3m\) và giảm chiều dài đi \(10m\) thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu.

Gọi chiều dài ban đầu và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật lần lượt là \(x,\ y\left( m \right),\ \left( x>y>0,\ x>10 \right)\)

Theo đề bài: Diện tích hình chữ nhật là \(360{{m}^{2}}\) nên ta có phương trình \(x.y=360\)

Sau khi tăng chiều rộng lên \(3m\) và giảm chiều dài đi \(10m\) thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng hình chữ nhật ban đầu, từ đó ta có phương trình \(\left( x-10 \right).\left( y+3 \right)=xy\Leftrightarrow 3x-10y=30\)

Ta có hệ :

\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x.y = 360\\
3x - 10y = 30
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{10y + 30}}{3}.y = 360\\
x = \frac{{10y + 30}}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
10{y^2} + 30y - 1080 = 0\\
x = \frac{{10y + 30}}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {y - 9} \right).\left( {y + 12} \right) = 0\\
x = \frac{{10y + 30}}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
y = 9\;\;\left( {tm} \right)\\
y = - 12\;\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.\\
x = \frac{{10y + 30}}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 9\;\\
x = 40\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy chu vi hình chữ nhật là \(2\left( 40+9 \right)=98\left( m \right)\)

2. Giải phương trình \(\sqrt{x-1}+7\sqrt{6-x}=15\)

ĐKXĐ : \(1\le x\le 6\)

Đặt \(\sqrt{x-1}=a,\sqrt{6-x}=b\ \ \left( a,b\ge 0 \right).\)  Suy ra \(a+7b=15\)

Ta có: \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( \sqrt{x-1} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{6-x} \right)}^{2}}=x-1+6-x=5\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5\)

Ta được hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
a + 7b = 15\\
{a^2} + {b^2} = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 15 - 7b\\
{\left( {15 - 7b} \right)^2} + {b^2} = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 15 - 7b\\
50{b^2} - 210b + 220 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 15 - 7b\\
\left( {5b - 11} \right)\left( {b - 2} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 15 - 7b\\
\left[ \begin{array}{l}
b = \frac{{11}}{5}\;\;\left( {tm} \right)\\
b = 2\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
b = 2\\
a = 1\;\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
b = \frac{{11}}{5}\\
a = - \frac{2}{5}\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right..
\end{array}\)

Với \(a = 1;\;\;b = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 1} = 1\\
\sqrt {6 - x} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)^2} = 1\\
{\left( {\sqrt {6 - x} } \right)^2} = 4
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 1 = 1\\
6 - x = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\;\;\;\left( {tm} \right)\)

Chọn B