Một người muốn làm một chiếc quạt có chu vi là  \(...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức tính diện tích, chu vi của một cung tròn: với \(\alpha \left( {rad} \right)\) là góc tạo bởi hai bán kính tạo nên hình quạt, ta có công thức tính diện tích, độ dài cung tròn của hình quạt:

\(\begin{array}{l} + )\;S = \frac{{\pi {R^2}\alpha }}{{360}} = \frac{{lR}}{2}\\ + )\;\;l = \frac{{\pi R\alpha }}{{180}}\end{array}\)

Giải chi tiết:

Độ dài cung tròn tạo nên hình quạt là chu vi  \(l = \frac{{\pi R.\alpha }}{{180}}\)

Suy ra chu vi hình quạt: \(C = 2R + l = 2R + \frac{{\pi R\alpha }}{{180}} = 80\)

\( \Leftrightarrow 360R + \pi R\alpha  = 14400 \Leftrightarrow \alpha  = \frac{{14400}}{{\pi R}} - \frac{{360}}{\pi }\)

Diện tích của hình quạt là:  \({S_{quat}} = \frac{{lR}}{2} = \frac{{\pi {R^2}\alpha }}{{360}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow S = \frac{{\pi {R^2}}}{{360}}\left( {\frac{{14400}}{{\pi R}} - \frac{{360}}{\pi }} \right) = 40R - {R^2} =  - {\left( {R - 20} \right)^2} + 400\\ \Rightarrow S \le 400.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow R - 20 = 0 \Leftrightarrow R = 20.\)

\( \Rightarrow \alpha  = \frac{{14400}}{{20\pi }} - \frac{{360}}{\pi } = \frac{{360}}{\pi } = \frac{{2\pi }}{\pi } = 2\;\left( {rad} \right).\)

Vậy \(\angle AOB = 2\;\;\left( {rad} \right).\)

Chọn B.