Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm C di...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Ta sẽ chứng minh: AI vuông CK và BK vuông CJ.

b) Chứng minh C, I, E thẳng hàng, từ đó suy ra tứ giác AHEC nội tiếp.

Giải chi tiết:

Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm C di động sao cho: \(CA \le CB.\) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Gọi I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, CHA và CHB.

a) Chứng minh I là trực tâm tam giác CJK.

Ta có: A, J, I thẳng hàng do đây là đường phân giác góc A.

Tương tự ta cũng có B, I, K thẳng hàng.

Áp dụng tính chất các tia phân giác ta có:

\(\begin{array}{l}\angle IBC + \angle JCB = \frac{1}{2}\angle CBA + \angle HCB + \angle JCH = \frac{1}{2}\angle CBA + \angle HCB + \frac{1}{2}\angle ACH\\ = \angle CBA + \angle HCB = {90^0} \Rightarrow KI \bot CJ.\end{array}\)

(\(\angle ACH = \angle CBA\) do cùng phụ \(\angle HCB\)).

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: IJ vuông CK.

Do vậy I là trực tâm tam giác CJK. (đpcm)

b) Gọi O là trung điểm AB và E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CHO. Tính: \(\widehat {AEO}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\angle ACE = \angle ACH + \frac{1}{2}\angle HCO = \angle ACB + \frac{1}{2}({90^0} - \angle COH)\\ = \angle ACB + {45^0} - \frac{1}{2}(\angle OCB + \angle OBC)\\ = \angle ACB + {45^0} - \frac{1}{2}.2.\angle OBC = {45^0} = \angle ACI\end{array}\)

\( \Rightarrow C,\;I,\;E\)  thẳng hàng.

Lại có: \(\angle ACE = {45^0} = \angle EHO\) nên AHEC là tứ giác nội tiếp, do đó: \(\angle AEC = \angle AHC = {90^0}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\angle CEO = {180^0} - \angle ECO - \angle EOC = {180^0} - \frac{1}{2}\angle HCO - \frac{1}{2}\angle HOC\\ = {180^0} - \frac{1}{2}({90^0} - \angle HOC) - \frac{1}{2}\angle HOC\\ = {180^0} - {45^0} + \frac{1}{2}\angle HOC - \frac{1}{2}\angle HOC = {135^0}\\ \Rightarrow \angle AEO = {360^0} - \angle AEC - \angle CEO = {360^0} - {90^0} - {135^0} = {135^0}.\end{array}\)

Vậy: \(\angle AEO = {135^0}.\)