Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp được đường tròn.

Ta có: AD, CF lần lượt là các đường cao của tam giác ABC nên: \(\widehat {ADB} = \widehat {BFC} = {90^0}\,\,\left( {hay\,\,\,\widehat {HDB} = \widehat {BFH} = {{90}^0}\,\,} \right)\)

Nên: \(\widehat {BFH} + \widehat {BDH} = {180^0}\)

Suy ra tứ giác BFHD nội tiếp được đường tròn đường kính BH với tâm là trung điểm của BH. (tổng 2 góc đối trong 1 tứ giác bằng \({180^0}\)

b) Biết \(\widehat {EBC} = {30^0}.\) Tính số đo \(\widehat {EMC}\) .

Ta có: \(\widehat {EBC} = {30^0} \Rightarrow \widehat {BCE} = {90^0} - {30^0} = {60^0}\,\,\left( {BE \bot EC\,} \right)\)

Xét tam giác vuông BEC vuông tại E có EM là trung tuyến nên: \(EM = MC = MB = \frac{1}{2}BC\)

Nên tam giác EMC là tam giác đều khi đó ta có: \(\widehat {EMC} = {60^0}\)

Vậy \(\widehat {EMC} = {60^0}\)

c) Chứng minh \(\widehat {FDE} = \widehat {FME}\)

Xét tứ giác BFEC ta có: \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = {90^0}\left( {gt} \right)\)

Mà 2 đỉnh E, F kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông nên tứ giác BFEC nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {EFC} = \widehat {EBC}\left( {\,hay\,\,\widehat {EFH} = \widehat {HBD}} \right)\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC) (1)

Mà tứ giác BFHD nội tiếp đường tròn (chứng minh câu a)

\( \Rightarrow \widehat {HBD} = \widehat {HFD}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HD)  (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat {EFH} = \widehat {HFD}\).

Mà \(\widehat {EFH} = \widehat {HAE}\) (tứ giác AFHE nội tiếp)

\(\widehat {HFD} = \widehat {HBD}\) (tứ giác BFHD nội tiếp)

Từ đó ta có: \(\widehat {DFE} = \widehat {DFH} + \widehat {HFE} = 2\widehat {HAE} = 2\left( {{{90}^0} - \widehat {MEC}} \right) = {180^0} - 2\widehat {MEC} = \widehat {EMC}\) (do tam giác MEC cân tại M)

Xét tứ giác DFEM ta có: \(\widehat {DFE} = \widehat {EMC}\) nên tứ giác DFEM nội tiếp.

Vậy ta có: \(\widehat {FDE} = \widehat {FME}\)