Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiệ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: \(a + b + c = abc\).

Chứng minh rằng: \(\dfrac{{\sqrt {1 + {a^2}} }}{a} + \dfrac{{\sqrt {1 + {b^2}} }}{b} - \sqrt {1 + {c^2}}  < 1.\)

Ta có: \(a + b + c = abc \Leftrightarrow \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{ac}} + \dfrac{1}{{bc}} = 1.\)

Đặt: \(x = \dfrac{1}{a};y = \dfrac{1}{b};z = \dfrac{1}{c}.\) thì bất đẳng thức đã cho trở thành: \(xy + xz + yz = 1\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {1 + {a^2}} }}{a} + \dfrac{{\sqrt {1 + {b^2}} }}{b} - \sqrt {1 + {c^2}}  < 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {\dfrac{1}{{{a^2}}} + 1}  + \sqrt {\dfrac{1}{{{b^2}}} + 1}  - c\sqrt {\dfrac{1}{{{c^2}}} + 1}  < 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + {x^2}}  + \sqrt {1 + {y^2}}  - \dfrac{{\sqrt {1 + {z^2}} }}{z} < 1\\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt {1 + {x^2}}  - \sqrt {1 + {y^2}}  + \dfrac{{\sqrt {1 + {z^2}} }}{z} > 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {1 + {x^2}}  - 1} \right)\left( {\sqrt {1 + {y^2}}  - 1} \right) - \sqrt {1 + {x^2}} \sqrt {1 + {y^2}}  + \dfrac{{\sqrt {1 + {z^2}} }}{z} > 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {1 + {x^2}}  - 1} \right)\left( {\sqrt {1 + {y^2}}  - 1} \right) + \dfrac{{\sqrt {1 + {z^2}}  - z\sqrt {1 + {x^2}} \sqrt {1 + {y^2}} }}{z} > 0\end{array}\)

Ta lại có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {1 + {x^2}} \sqrt {1 + {y^2}}  = \sqrt {1 + {x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2}}  = \sqrt {{{\left( {1 - xy} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {xz + yz} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}}  = \sqrt {\left( {{z^2} + 1} \right){{\left( {x + y} \right)}^2}}  = \left( {x + y} \right)\sqrt {1 + {z^2}} \\ \Rightarrow bdt \Leftrightarrow \left( {\sqrt {1 + {x^2}}  - 1} \right)\left( {\sqrt {1 + {y^2}}  - 1} \right) + \dfrac{{\sqrt {1 + {z^2}}  - z\left( {x + y} \right)\sqrt {1 + {z^2}} }}{z} > 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {1 + {x^2}}  - 1} \right)\left( {\sqrt {1 + {y^2}}  - 1} \right) + \dfrac{{\sqrt {1 + {z^2}}  - \left( {xz + yz} \right)\sqrt {1 + {z^2}} }}{z} > 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {1 + {x^2}}  - 1} \right)\left( {\sqrt {1 + {y^2}}  - 1} \right) + \dfrac{{\sqrt {1 + {z^2}}  - \left( {1 - xy} \right)\sqrt {1 + {z^2}} }}{z} > 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {1 + {x^2}}  - 1} \right)\left( {\sqrt {1 + {y^2}}  - 1} \right) + \dfrac{{xy\sqrt {1 + {z^2}} }}{z} > 0\end{array}\)

Từ đó ta có điều phải chứng minh.