Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = AB = A...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), chứng minh \(SM \bot \left( {ABC} \right)\).

+) Trong \(\left( {ABC} \right)\) dựng hình bình hành \(ABCD.\) Chứng minh \(\angle \left( {SC;AB} \right) = \angle \left( {SC;CD} \right)\).

+) Áp dụng định lí Cosin trong tam giác tính góc.

Giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), dễ thấy \(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow M\) là tâm đường tròn ngoạit tiếp \(\Delta ABC\).

Mà \(SA = SB = SC \Rightarrow SM \bot \left( {ABC} \right)\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) dựng hình bình hành \(ABCD \Rightarrow AB//CD\)\( \Leftrightarrow \angle \left( {SC;AB} \right) = \angle \left( {SC;CD} \right)\).

Ta có \(CD = AB = a\).

\(SM = \sqrt {S{A^2} - A{M^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow SC = \sqrt {S{M^2} + M{C^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}}  = a\).

Ta có \(\Delta ACD\) vuông cân tại \(C\)

 \( \Rightarrow \angle CAD = {45^0} \Rightarrow \angle MAD = \angle MAC + \angle CAD = {45^0} + {45^0} = {90^0}\).

\( \Rightarrow \Delta AMD\) vuông tại A.

\( \Rightarrow MD = \sqrt {A{M^2} + A{D^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + 2{a^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\).

\( \Rightarrow SD = \sqrt {S{M^2} + M{D^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{5{a^2}}}{2}}  = a\sqrt 3 \).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(SCD\) ta có:

\(\cos \angle SCD = \dfrac{{S{C^2} + C{D^2} - S{D^2}}}{{2.SC.CD}} = \dfrac{{{a^2} + {a^2} - 3{a^2}}}{{2.a.a}} =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle SCD = {120^0}\).

Vậy \(\angle \left( {AB;SC} \right) = {60^0}\).

Chọn B.