Cho phương trình: \({x^2} - 2x + m - 3 = 0\;\;\;\l...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay \(m = 0\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\) sau đó giải phương trình bậc hai.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0.\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)  và hệ thức bài cho để tìm \(m.\)

Giải chi tiết:

a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) khi \(m = 0.\)

Thay \(m = 0\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta có:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 1\end{array} \right..\)

Vậy với \(m = 0\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(x =  - 1\) và \(x = 3.\)

b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;\;{x_2}\) thỏa mãn:

\(x_1^2 + 12 = 2{x_2} - {x_1}{x_2}.\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 - m + 3 > 0 \Leftrightarrow m < 4.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 2 - {x_1}\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = m - 3\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + 12 = 2{x_2} - {x_1}{x_2}\;\;\;\left( 3 \right)\)

Thế \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;x_1^2 + 12 = 2\left( {2 - {x_1}} \right) - {x_1}\left( {2 - {x_1}} \right)\\ \Leftrightarrow x_1^2 + 12 = 4 - 2{x_1} - 2{x_1} + x_1^2\\ \Leftrightarrow  - 4{x_1} = 8 \Leftrightarrow {x_1} =  - 2 \Rightarrow {x_2} = 2 - {x_1} = 4.\\ \Rightarrow {x_1}{x_2} = m - 3 \Leftrightarrow m - 3 =  - 8 \Leftrightarrow m =  - 5\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(m =  - 5.\)