Cho phương trình \({{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\Leftrightarrow \Delta >0\ \ \forall m.\)

+) Từ phương trình đã cho, cô lập m, đưa phương trình về dạng \(m=A\left( x \right)+\frac{C}{B\left( x \right)}\) , với C là hằng số, tìm điều kiện để C chia hết cho B(x), tức là B(x) là ước của C.

Giải chi tiết:

1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Ta có: \(\Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}-4\left( m-2 \right)={{m}^{2}}+2m+1-4m+8={{m}^{2}}-2m+1+8={{\left( m-1 \right)}^{2}}+8.\)

Vì \({{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0\ \ \forall m\Rightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}+8>0\ \forall m.\)

Hay \(\Delta >0\ \forall m\Rightarrow \) phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

2) Tìm các số nguyên m để phương trình có nghiệm nguyên.

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

Đề bài yêu cầu tìm \(m\in Z\) để \(x\in Z.\) Ta đưa bài toán về dạng tìm x nguyên để m nguyên.

Ta có: \({{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m-2=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-x+m-2=0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = m\left( {x - 1} \right)\\
\Leftrightarrow m = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right) - 2}}{{x - 1}}\;\;\left( {x \ne 1} \right)\\
\Leftrightarrow m = x - \frac{2}{{x - 1}}.\\
\Rightarrow m \in Z \Leftrightarrow \left( {x - \frac{2}{{x - 1}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \frac{2}{{x - 1}} \in Z\,\,\left( {Do\,\,x \in Z} \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right) \in U\left( 2 \right).
\end{array}\)

Mà \(U\left( 2 \right)=\left\{ -2;\ -1;\ 1;\ 2 \right\}.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = - 2\\
x - 1 = - 1\\
x - 1 = 1\\
x - 1 = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 0\\
x = 2\\
x = 3
\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 2\\
m = 0\\
m = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\;\;\left( {tm} \right)\\
m = 2\;\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..\)

Vậy với \(m=0\) và \(m=2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B