a) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiệ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 4{a^2} + 6{b^2} + 3{c^2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có:

\(\begin{array}{l}4\left( {{a^2} + 1} \right) \ge 4.2\sqrt {{a^2}.1}  = 8a\\6\left( {{b^2} + \frac{4}{9}} \right) \ge 6.2\sqrt {{b^2}.\frac{4}{9}}  = 8b\\3\left( {{c^2} + \frac{{16}}{9}} \right) \ge 3.2\sqrt {{c^2}.\frac{{16}}{9}}  = 8c\end{array}\)

Cộng vế theo vế ta có \(A + 4 + \frac{8}{3} + \frac{{16}}{3} \ge 8\left( {a + b + c} \right) = 8.3 = 24\)

Vậy \(A \ge 12\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 1\\{b^2} = \frac{4}{9}\\{c^2} = \frac{{16}}{9}\\a,b,c \ge 0\\a + b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = \frac{2}{3}\\c = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \({A_{\min }} = 12 \Leftrightarrow \left( {a;b;c} \right) = \left( {1;\frac{2}{3};\frac{4}{3}} \right)\)

b) Tìm các số nguyên dương a, b biết các phương trình \({x^2} - 2ax - 3b = 0\) và \({x^2} - 2bx - 3a = 0\), với x là ẩn, đều có nghiệm nguyên.

Xét phương trình \({x^2} - 2ax - 3b = 0\) có \({\Delta _1}' = {a^2} + 3b > 0 \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x = a \pm \sqrt {{a^2} + 3b} \)

Xét phương trình \({x^2} - 2bx - 3a = 0\) có \({\Delta _2}' = {b^2} + 3a > 0 \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x = b \pm \sqrt {{b^2} + 3a} \)

Để cả hai phương trình đều có nghiệm nguyên \( \Leftrightarrow {a^2} + 3b\) và \({b^2} + 3a\) đều là số chinh phương.

Do vai trò của a và b là như nhau, không mất tính tổng quát, ta giả sử \(a \ge b\).

Ta chứng minh \({a^2} + 3b \le {\left( {a + 2} \right)^2}\).

Ta có 

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{a^2} + 3b < {\left( {a + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + 3b < {a^2} + 4a + 4\\ \Leftrightarrow 3b < 4a + 4\end{array}\)

Luôn đúng do giả sử \(a \ge b\).

\( \Rightarrow {a^2} < {a^2} + 3b < {\left( {a + 2} \right)^2}\,\,\left( {Do\,\,b > 0} \right)\).

Mà a, b là các số nguyên dương \( \Rightarrow {a^2} + 3b = {\left( {a + 1} \right)^2}\) là số chính phương.

\( \Leftrightarrow 3b = 2a + 1 \Rightarrow a = \frac{{3b - 1}}{2}\)

Thay vào \({\Delta _2}'\) ta có :  \({\Delta _2}' = {b^2} + 3.\frac{{3b - 1}}{2} = {b^2} + \frac{9}{2}b - \frac{3}{2} = {b^2} + 2.b.\frac{9}{4} + \frac{{81}}{{16}} - \frac{{105}}{{16}} = {\left( {b + \frac{9}{4}} \right)^2} - \frac{{105}}{{16}}\) là số chính phương.

Giả sử \({\left( {b + \frac{9}{4}} \right)^2} - \frac{{105}}{{16}} = {x^2}\,\,\left( {x \in Z} \right) \Leftrightarrow \left( {b + \frac{9}{4} - x} \right)\left( {b + \frac{9}{4} + x} \right) = \frac{{105}}{{16}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{4b - 4x + 9}}{4}.\frac{{4b + 4x + 9}}{4} = \frac{{105}}{{16}}\\ \Leftrightarrow \left( {4b - 4x + 9} \right)\left( {4b + 4x + 9} \right) = 5.21 = 1.105\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4b - 4x + 9 = 5\\4b + 4x + 9 = 21\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4b - 4x + 9 = 21\\4b + 4x + 9 = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4b - 4x + 9 = 1\\4b + 4x + 9 = 105\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4b - 4x + 9 = 105\\4b + 4x + 9 = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\x = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 11\\x = 13\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 11\\x =  - 13\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = 11\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = \frac{{3b - 1}}{2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 11\\a = \frac{{3b - 1}}{2} = 16\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\,\,\left( {16;11} \right)} \right\}\)

Do a, b có vai trò như nhau nên \(\left( {a;b} \right) = \left( {11;16} \right)\) cũng thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy các cặp số \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn là \(\left( {1;1} \right);\,\,\left( {16;11} \right);\,\,\left( {11;16} \right)\).