Cho \(A\) là một điểm thuộc đường tròn \(\left( {O...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Chứng minh \(\angle MAH = \angle MKA\); \(\angle AMH = \angle AMK = {90^0}\) suy ra  \( \Rightarrow \Delta MKA \sim \Delta MAH\,\,\,\,\left( {g - g} \right)\)

2) Ta chứng minh \(\angle CMD + \angle CND = {90^0} \Rightarrow \angle MDN = {90^0} \Rightarrow MD \bot DN.\)

3) Chứng minh  \(\angle BCN = \angle ACD,\angle CAD = \angle CBN\)    suy ra các tam giác \(ADC\) và \(BNC\) đồng dạng \(\left( {g - g} \right).\)

4) Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau  \(\angle CPQ = \angle CAD \Rightarrow PQ//AB.\)

Giải chi tiết:

a) Chứng minh \(\angle MKA = \angle MAH\) từ đó chứng minh \(\Delta MKA\) và \(\Delta MAH\) đồng dạng.

Xét \(\left( {O;\;R} \right)\) ta có:

\(\angle MKA\) là góc nội tiếp chắn cung \(AH.\)

\(\angle MAH\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(AH.\)

\( \Rightarrow \angle MAH = \angle MKA\) (tính chất).

Xét \(\Delta MKA\)  và \(\Delta MAH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle AMK = {90^0}\;\;chung\\\angle MAH = \angle AKA\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MAH \sim \Delta MKA\;\;\left( {g - g} \right)\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Kẻ \(HI \bot AK\) tại I. Chứng minh tứ giác AMHI nội tiếp một đường tròn.

Ta có \(\angle AMH = {90^0}\begin{array}{*{20}{c}}{(do}&{MA \bot MK)}\end{array}\)

\(\angle HIA = {90^0}\begin{array}{*{20}{c}}{(do}&{HI \bot AK)}\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle AMH + \angle AIH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow AMHI\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

c) Kéo dài AH cắt BK tại D. Chứng minh \(AD \bot KB\)  

Xét \(\Delta KMB\) và \(\Delta KMA\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle KMA = \angle KMB = {90^0}\\KM\;\;chung\\MA = MB\;\;\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta KMA = \Delta KMB\;\;\left( {ch - cgv} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle MKA = \angle MKB\) (hai góc tương ứng)

Lại có: \(\angle MKA = \angle MAH\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle MAH = \angle MKB = \angle MKD.\)

\( \Rightarrow MAKD\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle AMK = \angle ADK = {90^0}\)  (hai góc cùng nhìn đoạn \(AK)\)

\( \Rightarrow AD \bot BK.\;\;\left( {dpcm} \right)\)

d) Lấy C đối xứng với B qua AK. Chứng minh điểm C thuộc đường tròn (O; R).

Xét \(\Delta ABK\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}KM \bot AB\\AD \bot BK\\KM \cap AD = \left\{ H \right\}\end{array} \right. \Rightarrow H\) là trực tâm của \(\Delta ABK.\)

\( \Rightarrow BI\) là đường cao còn lại của \(\Delta ABK\)  hay \(B,\;H,\;I\) thẳng hàng.

Ta có \(BMHD\)  là tứ giác nội tiếp \(\left( {do\;\;\angle BMH + \angle BDH = {{180}^0}} \right).\)

\( \Rightarrow \angle ABK + \angle MHD = {180^0}\) (tính chất)

Mà \(\angle ABK + \angle AHK = {180^0}\) (do \(C\) đối xứng với \(B\) qua \(AK)\)

Lại có: \(\angle MHD = \angle AHK\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \angle ACK + \angle AHK = {180^0} \Rightarrow AHCK\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Mặt khác \(A,\;H,\;K \in \left( {O;\;R} \right)\) \( \Rightarrow C \in \left( {O;\;R} \right)\;\;\left( {dpcm} \right).\)