Cho \(a\) và \(b\) là các số thực khác 0. Tìm hệ t...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc tính giới hạn để tính giới hạn của hàm số theo \(a,\,b.\) Từ đó tìm mối liên hệ giữa \(a,\,\,b\) để giới hạn đó là hữu hạn.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{a}{{{x^2} - 6x + 8}} - \frac{b}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{{a\left( {x - 3} \right) - b\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{g\left( x \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}\)

Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 2} \right) = 0;\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 3} \right) =  - 1;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 4} \right) =  - 2;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g\left( x \right) = 2b - a.\)

Do đó nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g\left( x \right) \ne 0 \Leftrightarrow 2b - a \ne 0\)thì giới hạn cần tìm là vô cực.

\( \Rightarrow a - 2b = 0\).

Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g\left( x \right) = 2b - a = 0 \Leftrightarrow a = 2b\)  ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\frac{a}{{{x^2} - 6x + 8}} - \frac{b}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{{a\left( {x - 3} \right) - b\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}\\ = \frac{{2b\left( {x - 3} \right) - b\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{bx - 2b}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{b}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}\end{array}\)

Và do đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{a}{{{x^2} - 6x + 8}} - \frac{b}{{{x^2} - 5x + 6}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{b}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{b}{2}\).

Chọn C.