Chứng minh rằng mọi số nguyên \(x,y\) thì \(A = \l...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa: “ Số nguyên \(A\) là số chính phương \( \Leftrightarrow A = {n^2}\)”.

Giải chi tiết:

Ta có:

\(A = \left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right)\left( {x + 3y} \right)\left( {x + 4y} \right) + {y^4} = \left( {{x^2} + 5xy + 4{y^2}} \right)\left( {{x^2} + 5xy + 6{y^2}} \right) + {y^4}\)

Đặt \({x^2} + 5xy + 5{y^2} = t\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) thì

\(A = \left( {t - {y^2}} \right)\left( {t + {y^2}} \right) + {y^4} = {t^2} - {y^4} + {y^4} = {t^2} = {\left( {{x^2} + 5xy + 5{y^2}} \right)^2}\)

Vì \(x,\,\,y,\,\,z \in \mathbb{Z}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \in \mathbb{Z}\,\\5xy \in \mathbb{Z}\\5{y^2} \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + 5xy + 5{y^2} \in \mathbb{Z}\).

Vậy \(A\) là số chính phương.