Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AD.\) Gọi \(H\...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất đường trung bình và các quan hệ từ vuông đến song song chứng minh \(\angle IPM = \angle INM = {90^0}\).

- Sử dụng định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông chứng minh 5 điểm \(D,\,\,M,\,\,N,\,\,P,\,\,I\) cùng cách đều 1 điểm nào đó.

Giải chi tiết:

Gọi \(O\) là trung điểm của \(IM.\)

Do tam giác \(IDM\) vuông tại \(D\) nên \(OI = OM = OD\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Ta có \(IP\) là đường trung bình của tam giác \(AHC\)

\( \Rightarrow IP\parallel HC \Rightarrow \angle API = \angle ACH\) (hai góc dồng vị).

Ta có: \(HC \bot AB\), mà \(AB\parallel PM\) (do \(PM\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow HC \bot PM\\ \Rightarrow {90^0} = \angle MPC + \angle PCH = \angle MPC + \angle API\\ \Rightarrow \angle IPM = {180^0} - \left( {\angle MPC + \angle API} \right) = {90^0}.\end{array}\)

\( \Rightarrow OP = \dfrac{{OM}}{2} = OI\,\,\left( 2 \right)\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Chứng minh tương tự ta được \(ON = OI\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow OM = OI = OP = ON = OD.\)

Vậy 5 điểm \(D,\,M,\,\,N,\,\,P,\,\,I\) cùng nằm trên đường tròn \(\left( {O;\dfrac{{IM}}{2}} \right)\).