Cho các số thực \(a,\,\,b \ne 0\) thỏa mãn \(\frac...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Biến đổi biểu thức bài cho về biểu thức có chứa biểu thức theo bài cho để thế vào và tính giá trị biểu thức.

2. Sử dụng hằng đẳng thức: \({\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right)\) và giả thiết để biến đổi biểu thức VT và chứng minh VT = 0.

Giải chi tiết:

Cho các số thực \(a,\,\,b \ne 0\) thỏa mãn \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1.\)

1. Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}}{{{a^4}{b^4}}} + \frac{4}{{ab}}.\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}}{{{a^4}{b^4}}} + \frac{4}{{ab}} = {\left( {\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}} \right)^2} + \frac{4}{{ab}} = {\left( {\frac{1}{{{b^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}}} \right)^2} + \frac{4}{{ab}}\\ = {\left( {\frac{1}{{{a^2}}} - \frac{1}{{{b^2}}}} \right)^2} + \frac{4}{{ab}} = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} \right)^2} + \frac{4}{{ab}} = {\left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} \right)^2} + \frac{4}{{ab}}\\ = \frac{1}{{{a^2}}} - \frac{2}{{ab}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{4}{{ab}} = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)^2} = 1.\end{array}\)

2. Chứng minh rằng: \({\left( {a + b - 2} \right)^3} - {\left( {a - 1} \right)^3} - {\left( {b - 1} \right)^3} - 3\left( {a + b} \right) + 6 = 0.\)

Theo đề bài ta có: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 \Leftrightarrow a + b = ab\)

\( \Rightarrow ab - a - b = 0 \Leftrightarrow ab - a - b + 1 = 1 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) = 1.\)

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right)\)  ta có:

\(\begin{array}{l}{\left[ {\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 1} \right)} \right]^3} = {\left( {a - 1} \right)^3} + {\left( {b - 1} \right)^3} + 3\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left[ {\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 1} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b - 2} \right)^3} = {\left( {a - 1} \right)^3} + {\left( {b - 1} \right)^3} + 3.1\left( {a + b - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b - 2} \right)^3} - {\left( {a - 1} \right)^3} - {\left( {b - 1} \right)^3} - 3\left( {a + b} \right) + 6 = 0\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Chọn A.