Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Các tam giác đồng dạng, tính chất vuông góc.

Giải chi tiết:

Phần thuận:

Gọi \(M = OD \cap BC\).

Vẽ \(DH \bot OA\,\,\left( {H \in OA} \right)\), \(DB = DC,\,\,OB = OC\,\,\left( { = R} \right)\).

Suy ra \(DO\) là trung trực của \(BC\) suy ra \(DO \bot BC\).

Xét \(\Delta OMA\) và \(\Delta OHD\) có: \(\angle O\) chung; \(\angle OMA = \angle OHD = {90^0}\).

Vậy \(D\) thuộc đường thẳng cố định \(\left( d \right)\) vuông góc với đường thẳng \(OA\) tại \(H\).

Giới hạn:

\(BC\) quay quanh \(A\) nên \(D\) chuyển động trên đường thẳng \(\left( d \right)\).

Phần đảo:

Lấy \(D\) bất kì trên đường thẳng \(\left( d \right)\). Vẽ dây \(BC\) qua \(A\) vuông góc với \(OD\) tại \(M\).

Xét \(\Delta OMA\) và \(\Delta OHD\) có: \(\dfrac{{OA}}{{OD}} = \dfrac{{OM}}{{OH}}\), suy ra \(OA.OH = OM.OD\).

Mà \(OA.OH = {R^2} \Rightarrow OM.OD = {R^2} \Rightarrow \dfrac{{OM}}{{OB}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\).

Xét \(\Delta OMB\) và \(\Delta OBD\) có:  \(\angle MOB\) chung; \(\dfrac{{OM}}{{OB}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\).

Do đó \(\Delta OMB \sim \Delta OBD\,\,\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \angle OMB = \angle OBD = {90^0}\).

Suy ra \(BD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

Tương tự \(DC\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

Kết luận: Tập hơp các điểm \(D\) là đường thẳng \(d \bot OA\) tại \(H\) (với \(OH = \dfrac{{{R^2}}}{{OA}}\)).