Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngan...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\) thì \(y = {y_0}\) là TCN của đồ thị hàm số.

+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = \infty \) thì \(x = {x_0}\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

+) Sử dụng công thức giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\).

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sin {x^2}}}{{{x^3}}} \le \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{{x^3}}} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sin {x^2}}}{{{x^3}}} \ge \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 1}}{{{x^3}}} = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 0\end{array}\)

Tương tự ta có\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 0\).

Suy ra đồ thị hàm số có TCN \(y = 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sin {x^2}}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sin {x^2}}}{{{x^2}.x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin {x^2}}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin {x^2}}}{{{x^2}.x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} =  - \infty \end{array}\)

Suy ra đồ thị hàm số có TCĐ \(x = 0\).

Chọn C.