Giải phương trình \({\cos ^3}x - {\sin ^3}x =  - 1...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} - {b^3} = {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right)\).

- Đặt \(t = \cos x - \sin x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).

Giải chi tiết:

\({\cos ^3}x - {\sin ^3}x =  - 1 \Leftrightarrow {\left( {\cos x - \sin x} \right)^3} + 3\sin x\cos x\left( {\cos x - \sin x} \right) =  - 1\)

Đặt \(t = \cos x - \sin x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành

\({t^3} + \dfrac{3}{2}\left( {1 - {t^2}} \right)t =  - 1 \Leftrightarrow 2{t^3} + 3t - 3{t^3} =  - 1 \Leftrightarrow {t^3} - 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\left( {ktm} \right)\\t =  - 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t =  - 1 \Rightarrow \cos x - \sin x =  - 1 \Leftrightarrow \sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi  + k2\pi  = \pi  - 2\pi  + m2\pi  =  - \pi  + m2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k,m \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn D