Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng

- Hướng dẫn giải

Ta có

Với $n \ge 4$ thì n + 3 > 6 và n² + 2 > 17. Trong hai số n + 3 và n² + 2 hoặc có một số chia hết cho 6 hoặc một số chia hết cho 2, và một số chia hết cho 3 thì p sẽ là hợp số

    Thực vậy :

-                     Với n = 3k thì (n + 3)(n² + 2) = 27k²(k + 1) + 6(k + 1)  6

-                     Với n = 3k + 1 thì  (n + 3)(n² + 2) = 27k³ + 54k² + 33k 12

                                                            = BC 6 + 3k(k² + 1)

-    Với n = 3k – 1 thì  (n + 3)(n² + 2) = BC 6 + 3k(k² + 1)

Mà 3k(k² + 1) $⋮$ 6 nên với mọi $n \ge 1$ thì p đều là hợp số

Còn lại    

n = 1 thì p = 2

n = 2 thì p = 5

n = 3 thì p = 11

Đó là các số nguyên tố p cầc tìm.