Cho phương trình: \({\rm{3cos}}x + {\rm{cos}}2x -...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Công thức chuyển từ tích sang tổng : \(2\sin a.\sin b = \cos (a - b) - \cos (a + b)\)

+) Công thức hạ bậc \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\)

+) Đưa về phương trình bậc hai 1 ẩn cosx. Tìm x. Thay x tính giá trị

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\rm{Pt}} \Leftrightarrow {\rm{3cos}}x + {\rm{cos}}2x - {\rm{cos3}}x + 1 = {\rm{cos}}x - {\rm{cos3}}x\\ \Leftrightarrow 2{\rm{cos}}x + {\rm{cos2}}x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2\cos x + 2{\cos ^2}x - 1 + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + {\rm{cos}}x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {\cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{cos}}x = 0\\{\rm{cos}}x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \pi  + m2\pi \end{array} \right.\left( {k,\;m \in Z} \right)\end{array}\)

Vì \(x \in \left( {0;\,2\pi } \right)\) nên ta tìm được \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{2};\,\pi ,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right\}\). Nghiệm lớn nhất của phương trình là \(\alpha  = \frac{{3\pi }}{2}\).

Vậy \(\sin \left( {\alpha  - \frac{\pi }{4}} \right)\)\( = \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\)\( = \sin \frac{{5\pi }}{4}\)\( =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

 Chọn A