Cho biểu thức\(P = \left( {\frac{{2 + \sqrt x }}{{...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Sử dụng biểu thức liên hợp.

+) Đặt nhân tử chung.

+) Rút gọn các phân thức trước khi tiến hành tính toán.

+) Giải phương trình

+) Đối chiếu nghiệm với điều kiện đã tìm được ở ý a).

Giải chi tiết:

ĐKXĐ :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{x \ne 4}\end{array}} \right.\)

\(P =  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\frac{{2 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} - \frac{{4x + 2\sqrt x  - 4}}{{x - 4}}} \right):\left( {\frac{2}{{2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{2\sqrt x  - x}}} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow \frac{{2 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} - \frac{{4x + 2\sqrt x  - 4}}{{x - 4}} =  - \left( {\frac{2}{{2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{2\sqrt x  - x}}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{2 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} - \frac{{4x + 2\sqrt x  - 4}}{{x - 4}} = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{2\sqrt x  - x}} - \frac{2}{{2 - \sqrt x }}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}} + \frac{{4x + 2\sqrt x  - 4}}{{4 - x}} = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{x + 4\sqrt x  + 4 + 2\sqrt x  - x + 4x + 2\sqrt x  - 4}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 3 - 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{8\sqrt x  + 4x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}} = \frac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}} = \frac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{4x}}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow 4x = 3 - \sqrt x \\ \Leftrightarrow 4x + \sqrt x  - 3 = 0{\rm{        }}\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \(\sqrt x  = t,\,\,t > 0,\,\,t \ne 2\), khi đó pt \(\left( 1 \right)\) trở thành : \(4{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{3}{4}\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow x = {t^2} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{9}{{16}}\) (TM ĐKXĐ)

Vậy \(x = \frac{9}{{16}}.\)