Phương trình \(\tan x - \sqrt 3 \cot x - \sin x +...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi về  \(\sin x\)  và \(\cos x\), đưa về phương trình tích

     \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \tan x - \sin x - \sqrt 3 (\cot x - \cos x) + 1 - \sqrt 3  = 0\,\,\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\cos x}}(\sin x - \sin x\cos x + \cos x) - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}}(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{\cos x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}}} \right)(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,\end{array}\)

Giải chi tiết:

Điều kiện  \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Phương trình:\( \Leftrightarrow \tan x - \sin x - \sqrt 3 (\cot x - \cos x) + 1 - \sqrt 3  = 0\,\,\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{\cos x}}(\sin x - \sin x\cos x + \cos x) - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}}(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{\cos x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}}} \right)(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{{\cos x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\sin x - \sin x.\cos x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\end{array} \right.\end{array}\)

Giải  (1)\( \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\,\,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

Giải (2): Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x)\,\,\,\,\,\,|t| \le \sqrt 2 \)     (*)

Suy ra \(\sin x.\,\,\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)  .

Phương trình (2) trở thành  \(t - \frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 - \sqrt 2 \\t = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện (*) thì \(t = 1 + \sqrt 2 \) bị loại

Với \(t = 1 - \sqrt 2 \) ta có:

 \(\begin{array}{l}\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\, = 1 - \sqrt 2  \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \cos \alpha \,\,\,\,\,\left( {\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right)} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{4} - x = \alpha \, + l2\pi \\\frac{\pi }{4} - x =  - \alpha \, + m2\pi \end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{4} + \alpha \, + l2\pi \\x =  - \frac{\pi }{4} - \alpha \, + m2\pi \end{array} \right.\,\,\;\left( {\alpha  \in \mathbb{R},\,\,\,l,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Các nghiệm của phương trình (1) và (2) đều thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy phương trình có ba họ nghiệm

Ta có phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {0;\;\pi } \right]\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{3} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow k = 0\\0 <  - \frac{\pi }{4} + \alpha \, + l2\pi  < \pi  \Leftrightarrow l = 0\\0 <  - \frac{\pi }{4} - \alpha \, + m2\pi  < \pi  \Leftrightarrow m \in \emptyset \end{array} \right.\)

Phương trình có 2 nghiệm thõa mãn.

Chọn B.