Phương trình \(\tan x = \cot x + 4{\cos ^2}2x\)  c...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi về dạng sinx, cosx; sử dụng công thức nhân đôi đưa về phương trình của sin2x, cos2x

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\tan x = \cot x + 4{\cos ^2}2x \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 4{\cos ^2}2x\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} = 4{\cos ^2}2x \Leftrightarrow \frac{{ - 2\cos 2x}}{{\sin 2x}} = 4{\cos ^2}2x\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^2}2x.\sin 2x + 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\sin 4x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin 4x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\4x =  - \frac{\pi }{2} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x =  - \frac{\pi }{8} + \frac{{m\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right).\end{array}\)

Các nghiệm đều thõa mãn điều kiện.

Họ nghiệm \(x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\) có nghiệm dương bé nhất là \(\frac{\pi }{4}\), nghiệm âm lớn nhất là \( - \frac{\pi }{4}\).

Họ nghiệm \(x =  - \frac{\pi }{8} + \frac{{m\pi }}{2}\) có nghiệm dương bé nhất là \(\frac{{3\pi }}{8}\), nghiệm âm lớn nhất là \( - \frac{\pi }{8}\).

Tổng của nghiệm dương bé nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình là: \(\frac{\pi }{4} + \left( { - \frac{\pi }{8}} \right) = \frac{\pi }{8}\)

Chọn B.