Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đưa hàm số về phương trình lượng giác với tham số y

+) Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\)để tìm miền giá trị của y

Giải chi tiết:

Theo bài ta có:

\(y = \frac{{2\sin x + \cos x + 3}}{{ - \sin x + 2\cos x + 4}} \Leftrightarrow \left( {y + 2} \right)\sin x + \left( {1 - 2y} \right)\cos x = 4y - 3\)

Để phương trình có nghiệm x thì: \({\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {1 - 2y} \right)^2} \ge {\left( {4y - 3} \right)^2} \Leftrightarrow 11{y^2} - 24y + 4 \le 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{{11}} \le y \le 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = 2\\m = \frac{2}{{11}}\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow {M^2} + {m^2} = {2^2} + {\left( {\frac{2}{{11}}} \right)^2} = \frac{{488}}{{121}}.\)\(\)

Chọn A.