Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, G là trọng tâ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(d\left( {G;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{GABC}}}}{{{S_{ABC}}}}\)

Giải chi tiết:

G là trọng tâm tứ diện đều ABCD

\( \Rightarrow d\left( {G;\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {G;\left( {ACD} \right)} \right) = d\left( {G;\left( {ABD} \right)} \right) = d\left( {G;\left( {BCD} \right)} \right)\).

ABCD là tứ diện đều

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = {S_{ACD}} = {S_{ABD}} = {S_{BCD}} \Rightarrow {V_{G.ABC}} = {V_{G.ACD}} = {V_{G.ABD}} = {V_{G.BCD}}\).

\( \Rightarrow {V_{G.ABC}} = \frac{1}{4}{V_{ABCD}}\).

Ta sử dụng công thức nhanh : Thể tích của tứ diện đều cạnh a là \({V_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

\( \Rightarrow {V_{G.ABC}} = \frac{1}{4}.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}\).

Vậy \(d\left( {G;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{GABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\).

Chọn D.