Cho các số tự nhiên $m$ , $n$ thỏa mãn đồng thờ...

Cho các số tự nhiên $m$ , $n$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $C_m^2 = 153$ và $C_m^n = C_m^{n + 2}$ . Khi đó $m + n$ bằng

$25$

$24$

$26$

$23$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức : $C_n^k = C_n^{n - k}$

Sử dụng tính chất: $C_n^a = C_n^b \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a + b = n\end{array} \right.$

Từ đó tìm m; n.

Giải chi tiết:

Điều kiện: $m,\;n \in N,\;\;m \ge 2,\;0 \le n < m.$

Theo tính chất $C_m^n = C_m^{m - n}$ nên từ $C_m^n = C_m^{n + 2} \Rightarrow C_m^{n + 2} = C_m^{m - n}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2n + 2 = m \Leftrightarrow n = \frac{{m - 2}}{2}.\\\;\;\;C_m^2 = 153 \Leftrightarrow \frac{{m!}}{{2!\left( {m - 2} \right)!}} = 153\\ \Leftrightarrow \frac{{m\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)!}}{{2\left( {m - 2} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{{m\left( {m - 1} \right)}}{2} = 153\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 306 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 18\;\;\left( {tm} \right)\\m = - 17\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow n = \frac{{m - 2}}{2} = \frac{{18 - 2}}{2} = 8.\end{array}$