Tìm số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(2C_n^0 + 5C_n...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức bài cho ta được:

\(\begin{array}{l}2C_n^0 + 5C_n^1 + 8C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n\\ = \left( {3.0 + 2} \right)C_n^0 + \left( {3.1 + 2} \right)C_n^1 + \left( {3.2 + 2} \right)C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n\\ = 2\left( {C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n} \right) + 3\left( {C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n} \right)\end{array}\)

Ta tách thành 2 tổng \({S_1} = C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n\) và \({S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n.\)

Từ đó tìm n.

Giải chi tiết:

Biến đổi biểu thức bài cho ta được:

\(\begin{array}{l}2C_n^0 + 5C_n^1 + 8C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n\\ = \left( {3.0 + 2} \right)C_n^0 + \left( {3.1 + 2} \right)C_n^1 + \left( {3.2 + 2} \right)C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n\\ = 2\left( {C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n} \right) + 3\left( {C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n} \right)\end{array}\)

Ta có :  \({S_1} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {\left( {1 + 1} \right)^n} = {2^n}\).

Đặt \({S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n\)

Dựa vào câu 11 ta tính được: \({S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n = n{.2^{n - 1}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow VT = 2{S_1} + 3{S_2} = 1600\\ \Leftrightarrow {2.2^n} + 3n{.2^{n - 1}} = 1600\\ \Leftrightarrow {2.2^n} + \frac{{3n}}{2}{.2^n} = 1600\\ \Leftrightarrow \left( {3n + 4} \right){.2^n} = 3200\end{array}\)

Vì n là số tự nhiên nên ta thử các đáp án vào biểu thức ta được đáp án đúng là \(n = 7.\)

Chọn B