Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt ẩn phụ.

+) Chia phương trình đầu cho \({y^2}\), phương trình thứ 2 cho  \({y^3}\)

+) Đặt ẩn phụ \({x^2} + \frac{1}{{{y^2}}} = a,\frac{{xy + 1}}{y} = b\).

+) Quy về phương trình đơn giản giải a, b.

Giải chi tiết:

Ta viết lại hệ như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^2} + x} \right){y^2} + y + 1 = 4{y^2}\\xy + {x^2}{y^2} + 1 + {x^3}{y^3} = 4{y^3}\end{array} \right.\)

Ta thấy \(y = 0\) không thỏa mãn hệ \(\Rightarrow y \ne 0\).

Chia phương trình đầu cho \({y^2}\), phương trình thứ 2 cho \({y^3}\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^2} + x} \right) + \frac{{y + 1}}{{{y^2}}} = 4\\\frac{x}{{{y^2}}} + \frac{{{x^2}}}{y} + \frac{1}{{{y^3}}} + {x^3} = 4\end{array} \right.\)

 \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + \frac{1}{y} + \frac{1}{{{y^2}}} = 4\\\frac{x}{y}\left( {\frac{1}{y} + x} \right) + \left( {\frac{1}{y} + x} \right)\left( {\frac{1}{{{y^2}}} - \frac{x}{y} + {x^2}} \right) = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{{xy + 1}}{y} = 4\\\left( {{x^2} + \frac{1}{{{y^2}}}} \right)\left( {\frac{{xy + 1}}{y}} \right) = 4\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} + \frac{1}{{{y^2}}}\\v = \frac{{xy + 1}}{y}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 4\\uv = 4\end{array} \right.\)

Theo định lí Vi-ét đảo ta có u, v là nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l}{X^2} - 4X + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {X - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow X = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + \frac{1}{{{y^2}}} = 2\\x + \frac{1}{y} = 2
\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + \frac{1}{y}} \right)^2} - \frac{{2x}}{y} = 2\\
x + \frac{1}{y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = 2\\\frac{x}{y} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\end{array}\)

 Vậy hệ có một cặp nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\).

Vậy đáp án đúng là D