Số các giá trị nguyên nhỏ hơn 99 của tham số m...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \({\log _5}\left( {24x + m} \right) = {\log _4}\left( {6x} \right) = t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}24x + m = {5^t}\\6x = {4^t}\end{array} \right.\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\).

+) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

+) Lập BBT của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}24x + m > 0\\x > 0\end{array} \right.\)

Đặt \({\log _5}\left( {24x + m} \right) = {\log _4}\left( {6x} \right) = t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}24x + m = {5^t}\\6x = {4^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{{5^t} - m}}{{24}} = \dfrac{{{4^t}}}{6}\)

\( \Leftrightarrow {5^t} - m = {4.4^t} \Leftrightarrow f\left( t \right) = {5^t} - {4^{t + 1}} = m\), do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = {5^t} - {4^{t + 1}}\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {5^t} - {4^{t + 1}}\) ta có

\(f'\left( t \right) = {5^t}\ln 5 - {4^{t + 1}}\ln 4 \Leftrightarrow {5^t}\ln 5 = {4^t}.4\ln 4 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^t} = \dfrac{{\ln 256}}{{\ln 5}} \Leftrightarrow t = {\log _{\dfrac{5}{4}}}\dfrac{{\ln 256}}{{\ln 5}} = {t_0} \approx 5,54\)

Ta có BBT của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) như sau :

Để phương trình đã cho có nghiệm thì \(m \ge f\left( {{t_0}} \right)\). Mà \(m \in Z;\,\,m < 99\,\, \Rightarrow m \in \left\{ { - 1296; - 1205;...;0;1;2;...;98} \right\}\).

Vậy có 1395 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn: D