Phương trình \({\sin ^2}2x - 2{\cos ^2}x + \dfrac{...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Biến đổi về phương trình bậc 2 đối với $\cos 2x$.

- Giải phương trình, tìm nghiệm thõa mãn điều kiện.

Giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}2x - 2{\cos ^2}x + \dfrac{3}{4} = 0\\ \Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}2x - 2\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} + \dfrac{3}{4} = 0\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x + \cos 2x - \dfrac{3}{4} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = \dfrac{1}{2}\;\;\left( {tm} \right)\\\cos 2x =  - \dfrac{3}{2}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \cos 2x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\2x =  - \dfrac{\pi }{3} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{6} + m\pi \end{array} \right.,k,\;m \in \mathbb{Z}.\end{array}$

Ta có: $\left[ \begin{array}{l}10 \le \dfrac{\pi }{6} + k\pi  \le 20 \Leftrightarrow 3,01 \le k \le 6,2 \Rightarrow k \in \left\{ {4;\;5;\;6} \right\}\\10 \le  - \dfrac{\pi }{6} + m\pi  \le 20 \Leftrightarrow 3,35 \le m \le 6,53 \Rightarrow m \in \left\{ {4;\;5;\;6} \right\}\end{array} \right.$

Vậy có $6$ nghiệm thõa mãn.

Chọn A.