Giả sử phương trình \({x^3} - {x^2} + ax + b = 0\)...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dạng phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\,\,\left( {a,b,c,d \in R} \right)\).

Phương trình nếu có 3 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} + {x_3} = \frac{{ - b}}{a}\\T = {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \frac{c}{a}\\P = {x_1}{x_2}{x_3} = \frac{{ - d}}{a}\end{array} \right..\)

Giải chi tiết:

Giả sử phương trình \({x^3} - {x^2} + ax + b = 0\) có \(3\) nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\).

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_3} = 1}\\{{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = a}\\{{x_1}{x_2}{x_3} =  - b}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + 3b = {\left( {{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}{x_3}\\ = {x_1}^2{x_2}^2 + {x_2}^2{x_3}^2 + {x_3}^2{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2}^2{x_3} + 2{x_1}^2{x_2}{x_3} + 2{x_1}{x_2}{x_3}^2 - 3{x_1}{x_2}{x_3}\\ = {x_1}^2{x_2}^2 + {x_2}^2{x_3}^2 + {x_3}^2{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2}{x_3}\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right) - 3{x_1}{x_2}{x_3}\\ = {x_1}^2{x_2}^2 + {x_2}^2{x_3}^2 + {x_3}^2{x_1}^2 - {x_1}{x_2}{x_3}\\ = {x_1}^2{x_2}^2 + {x_2}^2{x_3}^2 + {x_3}^2{x_1}^2 - {x_1}{x_2}{x_3}\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)\\ = {x_1}^2{x_2}^2 + {x_2}^2{x_3}^2 + {x_3}^2{x_1}^2 - x_1^2{x_2}{x_3} - {x_1}x_2^2{x_3} - {x_1}{x_2}x_3^2\\ = \frac{1}{2}\left( {{x_1}^2{x_2}^2 - 2{x_1}x_2^2{x_3} + {x_2}^2{x_3}^2} \right) + \frac{1}{2}\left( {{x_2}^2{x_3}^2 - 2{x_1}{x_2}x_3^2 + {x_3}^2{x_1}^2} \right) + \frac{1}{2}\left( {{x_3}^2{x_1}^2 - 2x_1^2{x_2}{x_3} + {x_1}^2{x_2}^2} \right)\\ = \frac{1}{2}{\left( {{x_1}{x_2} - {x_2}{x_3}} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {{x_2}{x_3} - {x_3}{x_1}} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {{x_3}{x_1} - {x_1}{x_2}} \right)^2}\\ = \frac{1}{2}{x_2}^2{\left( {{x_1} - {x_3}} \right)^2} + \frac{1}{2}{x_3}^2{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + \frac{1}{2}{x_1}^2{\left( {{x_3} - {x_1}} \right)^2} \ge 0\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} = {x_3}\,\,\,\left( {ktm} \right)\)

Vậy \({a^2} + 3b > 0.\)

Chọn A.