Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 2a,...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta biến đổi tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) rồi sau đó thay theo giả thiết cho kết quả

Giải chi tiết:

Từ giả thiết \(M\) là điểm nằm trên \(BC\) sao cho \(MB = 2MC\) nên ta có \(\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

Đặt \(AB = x,AC = y \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 4{a^2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A)\)

Mặt khác từ \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = {a^2} \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = {a^2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{2}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} = {a^2}\,\,\,\,\left( {do{\rm{ }}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{y^2} - \frac{2}{3}{x^2} = {a^2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có  \(y = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}.\)

Chọn A