Tìm \(m\) để phương trình \({x^3} - 3m{x^2} + 4mx...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giả sử phương trình có ba nghiệm \(a,\;b,\;c\;\) lập thành CSN, áp dụng định lý Vi-ét cho phương trình bậc 3 để giải tìm \(m.\) Thay \(m\) vừa tìm được vào lại phương trình để kiểm chứng.

Giải chi tiết:

Giả sử phương trình có ba nghiệm \(a,\;b,\;c\) lập thành CSN \( \Rightarrow {b^2} = ac.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:  \(abc = 2 - m.\)

\( \Rightarrow {b^3} = 2 - m \Leftrightarrow m = 2 - {b^3}.\)

\(x = b\) là 1 nghiệm của phương trình \( \Rightarrow {b^3} - 3m{b^2} + 4mb + m - 2 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {b^3} - 3{b^2}\left( {2 - {b^3}} \right) + 4b\left( {2 - {b^3}} \right) + 2 - {b^3} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2 - {b^3}} \right)\left( {4b - 3{b^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\;\;\left( {ktm} \right)\\b = \sqrt[3]{2}\;\;\left( {tm} \right)\\b = \frac{4}{3}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - \frac{{10}}{{27}}\end{array} \right..\end{array}\)

+) Với \(m = 0 \Rightarrow pt \Leftrightarrow {x^3} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{2} \Rightarrow a = b = c = \sqrt[3]{2}\;\;\left( {ktm} \right)\;\)

+) Với \(m =  - \frac{{10}}{{27}} \Rightarrow pt \Leftrightarrow {x^3} + \frac{{10}}{9}{x^2} - \frac{{40}}{{27}}x - \frac{{64}}{{27}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 5 + \sqrt {217} }}{9}\\b = \frac{{ - 5 - \sqrt {217} }}{9}\end{array} \right.\) 

 Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn D.