Cho x, y là hai số thực thỏa mãn

Câu hỏi: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn $x y + \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} = 1.$ Chứng minh rằng $x \sqrt{1 + y^{2}} + y \sqrt{1 + x^{2}} = 0.$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} x y + \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} = 1 \Leftrightarrow \sqrt{{(1 + x)}^{2} {(1 + y)}^{2}} = 1 - x y \\ \Rightarrow (1 + x^{2}) (1 + y^{2}) = {(1 - x y)}^{2} \\ \Leftrightarrow 1 + x^{2} + y^{2} + x^{2} y^{2} = 1 - 2 x y + x^{2} y^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 2 x y = 0 \Leftrightarrow {(x + y)}^{2} = 0 \Leftrightarrow y = - x \\ \Rightarrow x \sqrt{1 + y^{2}} + y \sqrt{1 + x^{2}} = x \sqrt{1 + x^{2}} - x \sqrt{1 + x^{2}} = 0 \end{array}$