Cho $a,\,b \ge 1$. Khi đó, bất đẳng thức nào sau...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhân thêm hệ số thích hợp và sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm $\sqrt {ab}  \le {{a + b} \over 2}$

Giải chi tiết:

$\sqrt {b - 1}  = \sqrt {\left( {b - 1} \right).1}  \le {{\left( {b - 1} \right) + 1} \over 2} = {b \over 2}\,\,\,\,\left( * \right)$

Nhân hai vế của (*) với $a > 0$ ta có $a\sqrt {b - 1}  \le {{ab} \over 2}$ (1)

Chứng minh tương tự ta có: $b\sqrt {a - 1}  \le {{ab} \over 2}$ (2)

Cộng vế với vế của (1) với (2) ta được: $a\sqrt {b - 1}  + b\sqrt {a - 1}  \le ab$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  b - 1 = 1 \hfill \cr   a - 1 = 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  b = 2 \hfill \cr   a = 2 \hfill \cr}  \right.$

Chọn A.