Cho \(a,\,b \ge 1\). Khi đó, bất đẳng thức nào sau...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhân thêm hệ số thích hợp và sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm \(\sqrt {ab}  \le {{a + b} \over 2}\)

Giải chi tiết:

\(\sqrt {b - 1}  = \sqrt {\left( {b - 1} \right).1}  \le {{\left( {b - 1} \right) + 1} \over 2} = {b \over 2}\,\,\,\,\left( * \right)\)

Nhân hai vế của (*) với \(a > 0\) ta có \(a\sqrt {b - 1}  \le {{ab} \over 2}\) (1)

Chứng minh tương tự ta có: \(b\sqrt {a - 1}  \le {{ab} \over 2}\) (2)

Cộng vế với vế của (1) với (2) ta được: \(a\sqrt {b - 1}  + b\sqrt {a - 1}  \le ab\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  b - 1 = 1 \hfill \cr   a - 1 = 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  b = 2 \hfill \cr   a = 2 \hfill \cr}  \right.\)

Chọn A.