Cho \(a,b\) là hai số dương và \(a < b\). Câu n...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp loại trừ

Giải chi tiết:

Với \(a,b\) là hai số dương ta có \(\sqrt {ab}  \le {{a + b} \over 2}\) (bất đẳng thức Cauchy). Loại A.

Với \(a,b\) là hai số dương và \(a < b\), ta có : \({{a + b} \over 2} < {{b + b} \over 2} = {{2b} \over 2} = b \Rightarrow {{a + b} \over 2} < b\). Loại C

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \({1 \over a}\) và \({1 \over b}\)  ta có: \({1 \over a} + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{1 \over {ab}}} \)

Do \(a < b\) nên không có điều kiện để dấu \('' = ''\) xảy ra do đó ta có

\({1 \over a} + {1 \over b} > 2\sqrt {{1 \over {ab}}}  \Leftrightarrow {1 \over a} + {1 \over b} > {2 \over {\sqrt {ab} }} \Leftrightarrow {1 \over {{1 \over a} + {1 \over b}}} < {{\sqrt {ab} } \over 2} \Leftrightarrow {2 \over {{1 \over a} + {1 \over b}}} < \sqrt {ab} \). Loại đáp án B

Chọn D.

Chúng ta cùng giải thích xem vì sao bất đẳng thức ở đáp án D lại sai?

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(a\) và \(b\) ta có \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \({1 \over a}\) và \({1 \over b}\) ta có \({1 \over a} + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{1 \over {ab}}} \) (2)

Nhân vế với vế của (1) và (2) ta có: \(\left( {a + b} \right)\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) \ge 4 \Leftrightarrow {1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)

Do \(a < b\) nên không xảy ra dấu \('' = ''\) ở (1) và (2), nên ta có:

\({1 \over a} + {1 \over b} > {4 \over {a + b}} \Leftrightarrow {1 \over {{1 \over a} + {1 \over b}}} < {{a + b} \over 4}\)  (nghịch đảo hai vế) \( \Leftrightarrow {2 \over {{1 \over a} + {1 \over b}}} < {{a + b} \over 2}\)

Vậy \({2 \over {{1 \over a} + {1 \over b}}} \ge {{a + b} \over 2}\) là bất đẳng thức sai.