Kết luận nào sau đây đúng về nghiệm của hệ phương...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi tương đương phương trình (1) để đưa về dạng phương trình tích.

+) Sau đó, thế vào phương trình (2)

Giải chi tiết:

Từ phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + x - xy - 2{y^2} - 2y = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2xy} \right) + \left( {x - 2y} \right) + \left( {xy - 2{y^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 2y} \right) + \left( {x - 2y} \right) + y\left( {x - 2y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2y} \right)\left( {x + y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2y\\x + y =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(x=2y\) kết hợp với (2) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y\quad \\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\quad \\5{y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\quad \\y =  \pm \frac{1}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{{\sqrt 5 }};y = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\\x =  - \frac{2}{{\sqrt 5 }};y =  - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left( x;y \right)=\left( \frac{2}{\sqrt{5}};\frac{1}{\sqrt{5}} \right)\)hoặc \(\left( x;y \right)=\left( -\frac{2}{\sqrt{5}};-\frac{1}{\sqrt{5}} \right)\)là nghiệm của hệ.

+) Với \(x+y=-1,\) kết hợp với (2) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 1\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 1\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 1\\xy = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0;y =  - 1\\y = 0;x =  - 1\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left( x;y \right)=\left( 0;-1 \right)\)hoặc \(\left( x;y \right)=\left( -1;0 \right)\) là nghiệm của hệ

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm \(\left( x;y \right)\) là \(\left( \frac{2}{\sqrt{5}};\frac{1}{\sqrt{5}} \right)\), \(\left( -\frac{2}{\sqrt{5}};-\frac{1}{\sqrt{5}} \right)\),\(\left( 0;-1 \right)\),\(\left( -1;0 \right)\).

Chọn D